因式分解与n次单位根

习题引入

今天上高代的时候遇见这样一道题

$$\text{用余数定理证明:} (x^4+x^3+x^2+x+1)|(x^5+x^{11}+x^{17}+x^{23}+x^{29})$$

老师最后给的解答是这样的

对进行因式分解，得到

然后检验他们是不是右侧等式的根

当然这个解法没有问题，但是相信很多同学都有这样的疑问

• 该怎么因式分解？
• 一定要带进右边等式算吗？

本篇就是 epi 对这些问题的一点记录

单位根

首先，我们都知道 ，注意到等式左边就出现了类似的结构。、

你一定知道 次多项式至多有 个根

有了这点共识，我们引入单位根

n次单位根是n次幂为1的复数，它们位于复平面的单位圆上，构成正n边形的顶点，其中一个顶点是1

比如，四次单位根有四个，是

有了单位根的概念，我们回头来看这个问题

问题解答

就对应了除 1 以外的五次单位根，也就是说，它们是单位圆的五等分点

而

我们可以类比的得到

所以等式的右端就对应着单位圆的三十等分点去掉六等分点，加上原点

根据几何直观可得，左边的根包含于右边，得证。

实际上，n次单位根可以记为： （其中 ） 知道欧拉公式吧，还真有关系

于是我们可以做出这样的解答：

左侧的式子的根为 （），注意到 它们都是右侧式子的根，得证

看起来没有区别，但是实际上完全不用做计算就能搞定，感觉这种技巧也是不可不品的证明手段

后记与参考资料

由 的因式分解和单位根，可以进一步的提出分圆多项式，做练习遇到了再做记录吧。

今天调休，可恶的调休，不过只有一节早八，开心

参考资料：

《高等代数学》第五章多项式

《数学女孩5》第四章与你共轭

抛开情节不谈，《数学女孩》科普真不错吧，给中学阶段的我下放了很多数学知识，现在学的时候统统化做回旋镖了